Лекция по математике на тему "теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости". Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Теорема о прямой перпендикулярной данной

Повторите параграф 1 пункт15- 18, все свойстваи теоремы записаны у вас в тетради, изучите параграф 18,запишите в тетрадь теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90o.

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Замечания.

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Изучите ответы на вопросы:

В пространстве перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. (Да, например куб.) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая параллельна этой прямой. (Нет, перпендикулярна.) Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. (Нет, т. к. по условию прямые могут лежать в этой плоскости.) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая параллельна плоскости. (Нет, перпендикулярна.) Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. (Да, по признаку.) Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к двум сторонам треугольника, лежащим в этой плоскости. (Да.) Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к двум сторонам квадрата. (Нет.)

В тетраэдре ABCD (рисунок 1) BCD = ACD =90°, Верно ли, что на рисунке ребра АВ, АС, ВС, перпендикулярны CD? (Да.),

Дано: ∆ АВС, ВМ АВ, ВМ ВС, D АС.

Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна к любой прямой этой плоскости. На основании теоремы о проецировании прямого угла, а суть ее в следующем:

при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную величину (прямым) только в том случае, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая - не перпендикулярна этой плоскости,

в качестве прямых плоскости общего положения удобнее всего использовать ее линии уровня.

Поэтому, проводя перпендикуляр к плоскости, необходимо брать в этой плоскости две такие прямые: горизонталь и фронталь.

Проекции прямой, перпендикулярной к плоскости, на комплексном чертеже перпендикулярны к соответствующим проекциям ее линий уровня, т.е. если прямая линия перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а ее фронтальная проекция - фронтальной проекции фронтали (рис. 67) или соответствующим следам плоскости (рис. 68).

На рис. 69 изображена плоскость общего положения (a b ), к которой к которой требуется провести перпендикулярную прямую.

Рис. 69

Проводим в данной плоскости горизонталь h (через точки 1,3) и фронтальv (через точки 1,4) (рис. 69).

Затем из точки 1 проводим прямую n перпендикулярно к горизонтали и фронтали плоскости следующим образом:

n"  h" n""  h""

Построенная прямая n (n" ,n"" ) является искомым перпендикуляром к плоскости.

1. Перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Построение таких плоскостей может быть выполнено двумя путями:

1) плоскость проводится через перпендикуляр к другой;

2) плоскость проводится перпендикулярно прямой, принадлежащей другой плоскости.

На рис. 70 изображены прямая общего положения l и плоскость общего положения(а b ). Требуется построить через прямуюl плоскость, перпендикулярную к плоскости.

Рис. 70

Для решения задачи необходимо через какую-нибудь точку данной прямой, например, точку М , провести перпендикуляр к плоскости, заданной пересекающимися прямымиa иb .

Проводим в плоскости горизонтальh и фронтальv (рис. 70).

Далее из точки М , взятой на прямойl , опускаем перпендикулярn , пользуясь рассмотренным выше положением:n" h" ;n"" v"" , т.е. горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная его проекция - перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 70).

Плоскость (l n ), проходящая через прямуюn , будет перпендикулярна к плоскости.

1. Перпендикулярные прямые

Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

На рис. 71 изображена прямая l общего положения, к которой требуется провести перпендикулярную прямую.

Рис. 71

Через точку А прямойl строим перпендикулярную к ней плоскость(h v ):

l"  h" ; l""  h"" (рис. 71).

Любая прямая, лежащая в плоскости будет также перпендикулярна к данной прямойl . Поэтому проведем в этой плоскости произвольную прямуюt , на которой возьмем произвольную точку, например, точкуВ (рис. 71).

Соединив точки А иВ , лежащие в плоскости, получим прямуюn , перпендикулярную к данной прямойl (рис. 71).

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Что называется линией наибольшего наклона плоскости?

Как определить угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций?

Как отображается на комплексном чертеже взаимная перпендикулярность прямой и плоскости?

Сформулировать необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух прямых общего положения.

При каких условиях перпендикулярны между собой две плоскости общего положения?

Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой?

Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения?

Как построить взаимно-перпендикулярные плоскости?

На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости.
В начале урока сформулируем изучаемую теорему о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. Для ее доказательства вначале рассмотрим и докажем утверждение о существовании плоскости, перпендикулярной к данной прямой. После доказательства теоремы мы рассмотрим несколько задач-следствий на изучаемую тему.

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Урок: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости .

Утверждение

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М . Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а .

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а . В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р ) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а . Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Теорема

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Доказательство .

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с , перпендикулярная плоскости α .

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а . Пусть прямая b - линия пересечения плоскостей α и γ.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с , перпендикулярную прямой b .

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с 1 , проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с 1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с 1 параллельны. Но по построению прямые с и с 1 пересекаются в точке М . Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а , то они параллельны.

Доказательство:

Проведем прямую с параллельно прямой а . По лемме, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает плоскость. Прямая а пересекает плоскости α и β по условию. Значит прямая с пересекает плоскость α в некоторой точке А и плоскость β в точке В.

Прямая а перпендикулярна плоскостям α и β, а значит и параллельная ей прямая с перпендикулярна плоскостям α и β.

Предположим, что плоскости α и β пересекаются. Точка М - общая точка плоскостей α и β. Но тогда в треугольнике АМВ угол МАВ равен 90° и угол АВМ равен 90°, что невозможно. Значит, предположение о том, что плоскости α и β пересекаются было неверным. Значит, плоскости α и β параллельны.

Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.

Доказательство :

Пусть дана прямая а и точка М . Согласно утверждению, существует плоскость γ, проходящая через точку М , перпендикулярная прямой а . Докажем ее единственность.

Предположим, что существует плоскость γ 1 , проходящая через точку М , перпендикулярная прямой а . Две плоскости γ и γ 1 перпендикулярны одной и той же прямой а, а значит, плоскости γ и γ 1 параллельны (как мы доказали в задаче 1). Но точка М принадлежит и плоскости γ и γ 1 . Получили противоречие. Значит, через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой а , что и требовалось доказать.

Итак, мы доказали теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. На следующем уроке мы рассмотрим решение задач с такими прямыми.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.

Задания 15, 16, 17 стр. 58

2. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости:

а) двум сторонам треугольника

б) двум сторонам трапеции

в) двум диаметрам круга.

3. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.

4. Прямые а, b , с лежат в плоскости α. Прямая m перпендикулярна прямым а и b , но не перпендикулярна с . Каково взаимное расположение прямых а и b ?

Что такое симметрия. Симметрия в географии. Симметрия в геологии. Природные объекты. Примеры симметричного распределения. Виды симметрии. Симметрия цилиндра. Симметрия внешней формы кристалла. Симметрия в биологии. Дискретная симметрия. Симметрия в природе. Симметрия является фундаментальным свойством природы. Симметрия в физике. Симметричные фигуры. Человек, многие животные и растения обладают двусторонней симметрией.

«Условие перпендикулярности прямой и плоскости» - Теорема о прямой,перпендикулярной к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Прямые МА и МС. Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m. Свойства наклонных. Теорема о двух параллельных прямых. Теоремы,устанавливающие связь между параллельностью. Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ. Теорема о трёх перпендикулярах. План построения. Теорема о двух прямых, перпендукулярных к плоскости.

«Методы построения сечений» - Формирование умений и навыков построения сечений. Памятка. Рассмотрим четыре случая построения сечений параллелепипеда. Секущая плоскость. Метод внутреннего проектирования. Построение сечений многогранников. Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. Параллелепипед имеет шесть граней. Построить сечения тетраэдра. Метод следов. Работа с дисками.

«Следствия из аксиом стереометрии» - Элементы куба. Плоскость. Проведите прямую. Каким плоскостям принадлежит точка. Слайды по геометрии. Найдите прямую пересечения плоскостей. Решение. Различные плоскости. Аксиомы планиметрии. Самостоятельная работа. Утверждения. Постройте изображение куба. Планиметрия. Существование плоскости. Плоскости. Доказательство. Прямые,пересекающиеся в точке. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них.

«Определение двугранных углов» - Грани параллелепипеда. Где можно увидеть теорему трёх перпендикуляров. Задача. Проведем луч. Плоскость М. Точка на ребре может быть произвольная. Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями. Двугранные углы в пирамидах. Перпендикуляр, наклонная и проекция. Точка К. Угол при боковом ребре прямой призмы. Определение и свойства. Ромб. Концы отрезка. Свойство трёхгранного угла. Перпендикулярные плоскости.

«Параллелепипед» - «Зальцбургский параллелепипед». Изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. В параллелепипед можно вписать тетраэдр. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда. Развитие геометрии. Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам. Так параллелепипед выглядит в развертке. Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.